Der Mann im Mond hat eine Vorliebe für schier unendliche Brüche. Pro (für Astronomen: tropisches) Jahr durchläuft der Erdtrabant rund 12.37 volle synodische Zyklen (von Neu- bis Neumond). Ganz genau sind es deren 12.3682662622047, und will man dieses Verhältnis mit Zahnrädern abbilden (etwa für meinen digitalen Lunisolarkalender «Meton» oder meinen mechanischen Mondphasenrechner), dann ist das Berechnen eines möglichst günstigen Getriebes eine knifflige Sache.
In der Annahme, für die Berechnung der Mondphasen in einer Genauigkeit von weniger als einem Tag Abweichung in 1000 Jahren müsste sich ein kompaktes Zahnradgetriebe finden lassen, habe ich mir meinen eigenen Getrieberechner gebaut. Die Prämissen:
- ein Getriebe mit nur vier Zahnrädern auf zwei Achsen,
- mindestens 14 Zähne pro Rad (um sogenannten Unterschnitt zu vermeiden),
- höchstens 100 Zähne pro Rad (um das Getriebe so kompakt wie möglich zu halten),
- eine möglichst kleine Differenz zum Zielwert, sowie
- Zahnräder mit nur sovielen Zähnen wie nötig.
Tatsächlich benötigt eine solche Getrieberechnung nur wenige Codezeilen:
const ratio=12.3682662622047/2; // Zielverhältnis für Mondscheibe
const min=14; // Mindestzähnezahl
const max=100; // Höchstzähnezahl
let diff=ratio;
let gearMax=max;
let gear=[]; // Getriebeübersetzungen
for (let i=min; i<max; i++) {
for (let j=min; j<max; j++) {
for (let k=min; k<max; k++) {
for (let l=min; l<max; l++) {
let x=Math.abs(i/j*k/l-ratio); // Getriebe- und Differenzrechnung
let y=Math.max(...gear); // Höchste Zähnezahl
if (x<diff || y<gearMax) {
diff=x;
gear[0]=i; // Zahnrad 1
gear[1]=j; // Zahnrad 2
gear[2]=k; // Zahnrad 3
gear[3]=l; // Zahnrad 4
gearMax=y;
}
}
}
}
}
console.log(gear); // Ausgabe des optimalen Getriebes
Das auf diese Weise ermittelte Zahnradgetriebe weist die Übersetzung 39⁄23 × 62⁄17 (Mondphasen) bzw. 64⁄17 × 82⁄23 (Sonnen- und Mondfinsternisse) auf. Damit habe ich meinen digitalen Mondrechner optimiert: «Meton II» berechnet die Mondphasen nun mit einer Genauigkeit von einem Tag Abweichung in 1678 Jahren; die Eklipsenrechnung ist mit einem Tag Abweichung in 12 879 Jahren gar noch präziser.
Weil's der Mann im Mond, trotz komplizierter Brüche, eben genau wissen will.
Virtuell mechanischer Mondphasen- und Eklipsenrechner «Meton II».